罗素悖论与第三次数学危机精选83句集锦

罗素悖论与第三次数学危机

1、罗素悖论很简单，它只涉及集合论的少数几个最基本的概念，如元素、集合、属于等。考虑由所有那些自身不属于自己的集合(以它们为元素)作成一个集合A，那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合？理应二者必居其中一个，但：

2、数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决，同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后，新成果层出不穷，从来间断。数学呈现无比兴旺发达的景象，而这正是人们同数学中的矛盾、危机斗争的产物。

3、数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

4、因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。(罗素悖论与第三次数学危机)。

5、(1)朱伟勇，朱海松.时空简史：从芝诺悖论到引力波(全彩)(M).电子工业出版社，2018：

6、00十七世纪末，牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成第二次数学危机功的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。

7、显然,此集合应该是最大的集合了,因此其基数也应是最大的。然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的,那么,“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”,这就是“康托尔悖论”。

8、但是來到當代後被成功復活，不過用途比較小眾，而且其邏輯基礎非常複雜。

9、 飞矢不动悖论：飞矢在每个时间都占据着空间的一个位置，换言之，飞矢在“现在”这个时刻是静止不动的.(罗素悖论与第三次数学危机)。

10、数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。　　

11、00希帕索斯的发现，说明直觉和经验不一定靠得住，而推理和证明才是可靠的，这就导致了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。

12、 漫画|李政道和杨振宁是如何获得诺贝尔奖的？

13、 学界对悖论的定义不这里，我们援引陈智论文中张建军的定义：逻辑悖论指谓这样一种理论事实或状况，在某些公认正确的背景知识之下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式

14、希尔伯特认为只要将数学形式化"构成形式系统"然后用一种有限性的方法，就能证明各个形式系统的兼容性，从而导出全部数学的无矛盾性。希尔伯特的雄心勃勃数学基础研究规划最终被哥德尔的不完备性定理所否定，但他为此而创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。

15、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

16、1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。　　

17、在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

18、另一种程序既能解释又能排除已知悖论。如果仔细地检查就会发现：上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论：用M标志理发师，用S标示所有成员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的——理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就是这里的成员。因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的，例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界(上确界)”。

19、三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。

20、在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。

21、到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无　穷　小　是　零　吗　？　——　第　二　次　数　学　危　机　

22、布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“ 逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。

23、周述岐，数学思想和数学哲学，北京：中国人民大学出版社，1993

24、在大约 1920 年后，他向外界发布了这些成果，这显然是对希尔伯特的挑战。

25、 “两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。

26、 不过，落到每一条上，具体来看，也很有意义.下面我们将具体分析芝诺悖论每一条存在的问题：

27、后来数学家们把数分为可公度和不可公度，解决了第一次数学危机。

28、无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。

29、正如***论的悖论，特别是罗素悖论成为逻辑和数学相容性形式化的起点一样，撒谎者悖论及其语义学悖论导致了理论语义学的发展。”

30、 罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》(1910年～1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。1968～1969年出版了他的自传。

31、(5)洪辛.芝诺悖论与数学危机(J).自然辩证法研究，1986(02):39-DOI:19484/j.cnki.1000-8919000

32、有数学家反对对无穷集合使用排中律,一场持久战1908 年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。

33、自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。例如公元前四世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的”。如果这个陈述是真的，则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它又是真的了。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有埃皮门尼德(公元前6世纪，克利特人)悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能看出这句话也是自相矛盾的。

34、1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论黯淡了下来。此后，各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不大关心哲学问题。直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴趣。

35、   来看看这个悖论的通俗解释：萨尔维村里的一名理发师，给自己立了一条店规，说到：“我只为不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发师该不该给自己刮脸？

36、可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机。

37、在希帕索斯悖论发现之前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范，希帕索斯发现的无理数，暴露了原有数学规范的局限性。

38、◆数学历史上的第二次数学危机：幽灵般的无穷小！

39、1918年，罗素把这个悖论通俗化，成为理发师悖论。

40、  第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后，由于对无穷小量的理解未及深透而引发的；

41、然而, 远在欧几里得之前,在古代巴比伦人、埃及人和希腊人那里, 就已产生了公理化思想的萌芽。公元前六世纪时期, 希腊数学的鼻祖泰勒斯(Thales, 约公元前624 – 公元前547)就把逻辑论证引入于数学之中。及至希伯索斯(Hippasus) 发现无公度线段之后, 毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前580 — 公元前497) 学派即逐步认识到直观、经验和实践并非绝对可靠,希望对过去由经验而直接得到的几何知识都能够用严格的逻辑推理来加以证明。

42、001734年，英国大主教贝克莱发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。

43、计划的第二步是证明数学是完整的。这个完整包含了两个方面，一是完备，二是一致。所有真的陈述都能被证明，这被称为数学的完备性；另一方面，不会推出自相矛盾的陈述，则被称为数学的一致性。完备性保证了我们能证明所有的真理，只要是真的就可以证明；一致性确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的，不会出现一个陈述，它既是真的又是假的。

44、1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。

45、数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

46、 1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。

47、 阿基里斯悖论：此悖论同样以时空的连续性为前提，假设时空无限可分，以每次阿基里斯跑到乌龟的上一个位置的这段路程为一个循环作为一个“芝诺时”来衡量的话，“芝诺时”较正常时间越来越少，而这些越来越少的无穷个时间加起来是有限的，并不是无穷

48、后来有越来越多的数学家接受了康托尔这一开创性成果，并且给予广泛而高度的赞誉，数学家们发现从自然数与康托尔集合论出发可以建立起整个数学大厦，这个大厦的基石逻辑性，绝对严密，牢不可摧。

49、法国数学家柯西是数学分析的集大成者，通过《分析教程》(1821)、《无穷小计算讲义》(1823)、《无穷小计算在几何中的应用》(1826)这几部著作，柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系。

50、 这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：

51、十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。

52、为了证明自己的观点，康托尔提出了“超越数”的概念，所谓超越数就是不能满足任何整系数代数方程的实数，但是他没有举出具体的超越数例子，这一下引起了当时同行们的怀疑和愤怒。康托尔面临各种质疑由于过度紧张得了精神病，最终死在了精神病院里。

53、波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

54、00为了排除***论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个***论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔***论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔***论公理体系。

55、在魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动的引领下，戴德金、康托尔包括魏尔斯特拉斯都提出了自己的实数理论。

56、某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上所有不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢？  现在考虑由所有那些自身不属于自己的集合作成一个集合A,那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合呢？理应两者必居其中一个，但是，我们看到：若A∈A,则根据A的定义，A∉A。若A∉A，则根据A的定义，A∈A。无论在任何情况下都导致矛盾，这就是人所共知的罗素悖论。

57、非欧几何学的建立, 不仅为公理化方法的进一步发展奠定了基石, 而且为新数学理论的发现提供了先例。

58、据康托尔集合理论,任何性质都可以决定一个集合,这样所有的集合又可以组成一个集合,即“所有集合的集合”(大全集)。

59、有了这些公理，任何几何方面的问题，我们都可以解决。这也叫做公理系统的完备性。不完备的公理系统，在希尔伯特眼里也是不完美的。同样简单地说，一个几何题，我们肯定是做得出来的，如果做不出来，那公理就不完备了。

60、而牛顿在创造微积分的时候，则引发了第二次数学危机，牛顿对于导数的定义并不太严密，比如说x2的导数,先将x取一个不为0的增量Δx,由(x+Δx)^2-x^2,得到2xΔx+(Δx)^2,后再被Δx除,得到2x+Δx,最后突然令Δx=0,求得导数为2x。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设Δx是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？

61、受希尔伯特规划的影响，1930年哥德尔开始考虑数学分析的一致性问题，1931年发表《PM及有关系统中的形式不可判定命题》一文，论证了两个著名的定理： 一个包括初等数论的形式系统P，如果是一致的那么就是不完备的(第一不完备性定理)； 如果这样的系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证(第二不完备性定理)。哥德尔的本意是要实现希尔伯特规划。他试图首先证明算术理论的一致性，然后建立分析“实数的”理论的一致性。但最终结果却刚好相反，彻底粉碎了希尔伯特的梦想。

62、1860年，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数；1872年，戴德金提出用分割来定义无理数；1883年，康托尔提出用基本序列来定义无理数；等等。

63、这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。

64、(2)陆新生.数学史上的三次危机(J).科学教育与博物馆，2020(1/2)：65-

65、希尔伯特热忱地支持康托的集合论与无限数，他认为，为了加强数学的基础，支持康托的观念将是必要的。

66、  第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论，危及整个数学的基础而引起的。

67、德国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次用“ε—δ”方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等，建立了该学科的严格体系。

68、实数的这三大派理论证明了实数系的完备性。实数的定义及其完备性的确立标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除，实数体系的建立也标志着代数彻底摆脱几何的阴霾。

69、(1)若A属于A，则根据A的定义，A不属于A。

70、如果是第一次、第二次数学危机仅仅影响的是整个数学大厦的建造问题，那么第三次数学大厦直接动摇的是整个地基，因为涉及的是数学基础问题。

71、而成為了它的代替品的就是我們今天用的zfc。

72、文章内容参考：胡作玄，第三次数学危机，四川人民出版社，1904 

73、无理数作为无限不循环小数，超出人们对整数比的直观感受，进而暴露数学理论中存在的问题：离散的数量概念的片面性.而芝诺悖论更为全面地揭示了：离散和连续都必然导致矛盾，其中，二分法悖论和阿基里斯悖论揭示了连续的片面性，飞矢不动悖论和运动场悖论揭示了离散的片面性.

74、众所周知，集合有三要素：“确定性，无序性，互异性”，这么简洁美丽的体系即将迎来前所未有的挑战！

75、危机罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S属于S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论。

76、承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

77、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。1908年，策梅洛提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种。但虽然说第三次数学危机表面上是解决了，但其实还没有非常完美地解决。

78、法国著名数学家庞加莱(1854—1912)于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，(数学)绝对的严密性是已经达到了”。

79、罗素的问题直接让许多的数学家的一辈子工作都毁于一旦，德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了”。这的确让人倍感无奈，即使我们对于逻辑的数学化建设耗费了如此巨大的精力，我们得出的很多结论仍然不是严密的，可能会有漏洞。

80、二分法悖论：二分法以时空的连续性为前提，假设时空无限可分，不断取1/直至取至无穷小量.但将无穷小量视为0，运动者就会寸步难行.

81、回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。

82、承认无穷集合、承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论中一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。